>
σχολικό υλικό για μαθητές Ι σχολικό υλικό για μαθητές ΙΙ προχωρημένο υλικό για ρομαντικούς επιπλέον υλικό για καθηγητές non greek material εξαντλημένα αρχεία σκαναρισμένα προσωπικό υλίκο
Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου ελληνικές συλλογές ασκήσεων πρόσφατα άρθρα
+ εργασίες
σχολικά βιβλία 1940-2016 Απολλώνιο πρόβλημα
Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου διπλωματικές εργασίες τετράδια γνωστών Γεωμετρών ανακατασκευές βιβλίων (ανενεργή)
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου αντιστροφή + γεωμ. μετασχηματισμοί πρόσφατα βιβλία παλιά βοηθήματα Γεωμετρίας Στήλη της Γεωμετρίας (ανενεργή)
Γεωμετρία Α΄ Λυκείου κωνικές τομές γεωμετρικά σύγχρονες βιβλιοπροτάσεις παλιά βοηθήματα Τριγωνομετρίας
Γεωμετρία Β΄ Λυκείου μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες ιδανική βιβλιοθήκη Γεωμετρίας παλιά βοηθήματα Αναλ. Γεωμετρίας
(αρχική σελίδα) Παραστατική + Προβολική Κιβωτός Εργασιών Γεωμετρίας

Η πρώτη στήλη (με το άσπρο φόντο) βρίσκεται στην σελίδα ''για την αγάπη των μαθηματικών''. Εκεί βρίσκεται και το βιβλίο επισκεπτών.

Απολλώνιο πρόβλημα γεωμετρικά


κάθε ιστορία έχει μια αρχή ...

Διατυπώθηκε και λύθηκε από τον Απολλώνιο τον Περγαίο στο βιβλίο του ''Περί Επαφών'', σύμφωνα με τις περιγραφές του Πάππου και το βιβλίο εκείνο δεν έχει διασωθεί στις μέρες μας.  Στην Αρχαία Ελλάδα λύση αποδεκτή Γεωμετρικής Κατασκευής θεωρείται αυτή με την χρήση του Κανόνα και του Διαβήτη. Από τότε έχουν δοθεί μόνο 5 καθαρά γεωμετρικές λύσεις. Έχει λυθεί πολλάκις με χρήση κωνικών τομών κι Άλγεβρας. Εδω μας ενδιαφέρουν οι καθαρά γεωμετρικές προσεγγίσεις .

Είναι ένα πρόβλημα κατασκευής κύκλου.
Το κλασικό πρόβλημα είναι η κατασκευή κύκλου εφαπτόμενου σε 3 κύκλους (Κ).
Επειδή όμως ένα σημείο (Σ) μπορεί να θεωρηθεί ως κύκλος με μηδενική ακτίνα  αλλά και μια ευθεία (Ε) μπορεί να θεωρηθεί ως κύκλος με άπειρη ακτίνα , το πρόβλημα αναλύεται σε 10 διαφορετικές περιπτώσεις ως:

<έτοιμη η διερεύνηση>
(I)      ΣΣΣ, κατασκεύη κύκλου διερχόμενου από 3 σημεία
(II)     ΕΕΕ, κατασκεύη κύκλου εφαπτόμενου σε 3 ευθείες
(III)    ΣΣΕ, κατασκευή κύκλου διερχόμενου από 2 σημεία κι εφαπτόμενου σε 1 ευθεία
(IV)    ΣΕΕ, κατασκεύη κύκλου διερχόμενου από 1 σημείο κι εφαπτόμενου σε 2 ευθείες
(V)     ΣΣΚ, κατασκεύη κύκλου διερχόμενου από 2 σημεία κι εφαπτόμενου σε 1 κύκλο

 <έτοιμη η λύση της γενικής περίπτωσης>

(VI)    ΣΕΚ, κατασκεύη κύκλου διερχόμενου από 1 σημείο κι εφαπτόμενου σε 1 ευθεία  και 1 κύκλο
(VII)   ΣΚΚ, κατασκεύη κύκλου διερχόμενου από 1 σημείο κι εφαπτόμενου σε 2 κύκλους

<υπό κατασκευή>

(VIII) ΕΕΚ, κατασκεύη κύκλου εφαπτόμενου σε 2 ευθείες και σε 1 κύκλο
(IX)    ΕΚΚ, κατασκεύη κύκλου εφαπτόμενου σε 1 ευθεία και σε 2 κύκλους
(X)     ΚΚΚ, κατασκεύη κύκλου εφαπτόμενου σε 3 κύκλους

αλλαγές ανά έκδοση
έκδοση 0 (22-12-2014): διερεύνηση στα προβλήματα 1-4 (ΣΣΣ,ΕΕΕ,ΣΣΕ,ΣΕΕ), συνένωση 4 αρχείων σε 1
έκδοση 1η (24-12-2014): λύση στο πρόβλημα 5 (ΣΣΚ)
έκδοση 2η (24-12-2014): λύση στο πρόβλημα 6 (ΣΕΚ)
έκδοση 3η (25-12-2014): προσθήκη προλόγου και εισαγωγικών κατασκευών
έκδοση 4η (28-12-2014): λύση στο πρόβλημα 7 (ΣΚΚ)+ προσθήκη εξωφύλλων ενοτήτων
έκδοση 5η (07-01-2015): διερεύνηση στο πρόβλημα 5 (ΣΣΚ)+ προσθήκη παραρτημάτων
έκδοση 6η (01-02-2015): προσθήκη εισαγωγικών κατασκευών αντιστροφής

Τελευταία ανανέωση του αρχείου: 01/02/2015 (6η έκδοση)
Για να μην είναι σε πολλά αρχεια, συγκέντρωσα όσα είναι έτοιμα  παραπάνω σε ένα αρχείο pdf. H διερεύνηση και η λύση στα 5 πρώτα Απολλώνια προβλήματα (ΣΣΣ, ΕΕΕ, ΣΣΕ, ΣΕΕ, ΣΣΚ) καθώς και η λύση στην γενική περίπτωση του 6ου και 7ου προβλήματος (ΣΕΚ,ΣΚΚ) βρίσκονται εδώ.


Ο σκοπός είναι να επιλυθούν και οι δέκα περιπτώσεις με όλους τους δυνατούς τρόπους και να διερευνηθεί πλήρως η κάθε μια από τις περιπτώσεις αυτές. Η διερεύνηση υπάρχει ήδη στο βιβλίο του Αναστάσιου Περιστερόπουλου με τίτλο «το πρόβλημα του Απολλωνίου ή των Επαφών, Βιβλίον Α'» έκδοση του 1972. Στο βιβλίο αυτό, δεν γίνεται χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών. Τέτοιες λύσεις υπάρχουν σε άλλα βιβλία, αλλά ασχολούνται μόνο με την επίλυση της γενικής περίπτωσης.

Η παρούσα εργασία ασχολείται με την επίλυση κάθε υποπερίπτωσης με όλους τους δυνατούς τρόπους ανεξαρτήτως του βαθμού δυσκολίας της. Στο εξώφυλλο κάθε ανάρτησης εμφανίζονται όλες οι περιπτώσεις με τα σχήματά τους προκειμένου να προκαλέσουν το ενδιαφέρον όποιου θέλει να ασχοληθεί δίχως να έχει δίπλα την εκάστοτε λύση. Ο απώτερος στόχος είναι να αντιμετωπιστεί πλήρως το 10ο πρόβλημα (κατασκευή κύκλου εφαπτόμενου σε 3 δοθέντες κύκλους). Για να κατανοήσουμε καλύτερα τις δυσκολίες που κρύβει το 10ο πρόβλημα, θεωρώ ότι πρέπει να κατανοήσουμε πλήρως όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις και την κάθε υποπερίπτωση. Περιμένω τα σχόλιά σας κι ενδεχομένως άλλες λύσεις στις παραπάνω περιπτώσεις.

παραπομπές:
wikipedia Ελληνικά
wikipedia Αγγλικά





Ελληνική Βιβλιογραφία


σχετικό βιβλίο
Περιστερόπουλος Αναστάσιος,
Το Πρόβλημα του Απολλωνίου ή των Επαφών ,
Βιβλίον Α', λύσις δια της Θεωρητικής Γεωμετρίας
(Αθήναι 1972, σελ. 126)






Τα 8 μη τετριμμένα προβλήματα είναι λυμένα στα εξής βιβλία:

  1. Frère, Gabriel - Marie (F.G.M.) - Ασκήσεις Γεωμετρίας Iησουιτών (μετάφραση Δ.Γκιόκα) (εκδ. Καραβία / Χιωτέλλη, 1952,  σελ. 1215 σύνολο)
  2. Ανάγνος Δημήτρης - Γεωμετρία Β' Λυκείου (εκδ. Πυθαγόρας, σελ.151)
  3. Βασιλειάδης Παναγιώτης - Γεωμετρία, Α' Τόμος, Επιπεδομετρία (Θεσσαλονίκη 1966, φροντιστήρια Βασιλειάδη, σελ. 360)
  4. Βασιλειάδης Παναγιώτης - Γεωμετρία, Κατασκευαί (Θεσσαλονίκη 1975, Φροντιστήριο Βασιλειάδη, σελ.302) 
  5. Γιαννέλος Παναγιώτης, Δρακόπουλος Μιχάλης - Γεωμετρία 2 (Αθήνα 1977, σελ. 223)
  6. Γουβίτσας Δημήτρης - Γεωμετρία Β' Λυκείου, Μέθοδοι Ασκήσεις (Θεσσαλονίκη 1998, εκδ. Όλυμπος, σελ. 336)
  7. Δημητρίου Αρίστος - Μέθοδοι Επιλύσεως Γεωμετρικών Προβλημάτων, με 1000 εφαρμογές και παραδείγματα γεωμ.τόπων και κατασκευών (Αθήνα 1972, σελ.315) 
  8. Ζουριδάκης Μανώλης, Μικρούτσικος Στέργιος, Μπαζιάνας Αχιλλέας - Γεωμετρία Επιπεδομετρία, Τεύχος Β' (Αθήνα 1965, σελ. 238)
  9. Ιωαννίδης Ιωάννης & Ταβανλής Χρήστος - Γεωμετρία 2, Γεωμετρικοί τόποι και κατασκευαί (Αθήνα, σελ. 502)
  10. Κανέλλος Σπύρος  - Ευκλείδειος Γεωμετρία, Επίπεδος (2η έκδοση Αθήνα 1973, εκδ. Παπαδημητρόπουλου, σελ. 619) 
  11. Καντζιός Δημήτριος - Γεωμετρία μέρος Α', Επιπεδομετρία, τεύχος Α', Β' (2η εκδ. Αθήνα 1975 σελ. 320)
  12. Κούρκουλος Άγγελος Μ. - Η Γεωμετρία του Υποψηφίου Ανωτάτων Σχολών, τόμος Α΄, Επιπεδομετρία  (3η εκδ. Αθήνα 1976, εκδ. Κνωσός, σελ. 666) 
  13. Κυριακόπουλος Νίκος - Γεωμετρία Β' Λυκείου 1 (Αθήνα 1991, εκδ. Παπαδημητρόπουλου, σελ. 220)   
  14. Lemaire G. -  Η Μεθοδική Λύση του Γεωμετρικού Προβλήματος, με συμπλήρωμα Γεωμετρίας  (μετάφραση Γιώργου Ο. Βουδούρη) (2η εκδ. Αθήνα 1946, εκδ. Πούντζα, σελ. 235) 
  15. Λιβέρης Διονύσιος  - Θεωρητική Γεωμετρία, τόμος Β΄ (2η εκδ. Αθήνα 1963, σελ.307) 
  16. Ντάνης Γιάννης - Γεωμετρία 1, η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας, δια τον υποψήφιον θετικών επιστημών (σελ. 368) 
  17. Πάλλας Αριστείδης  - Μεγάλη Γεωμετρία, Τόμος Α΄ Επιπεδομετρία μετά Συμπληρώματος, τεύχος Β (4η εκδ. 1968, σελ.  254)
  18. Πανάκης Ιωάννης - Μαθηματικά Ε' Γυμνασίου,Τόμος 2ος (Γεωμετρία) Ο.Ε.Δ.Β. 1968 <το μόνο σχολικό>
  19. Σκιαδάς Αναστάσιος - Γεωμετρία Επιπεδομετρία, τεύχος Β' (2η εκδ. Αθήνα 1974, σελ. 314)
  20. Σμυρνής Λεωνίδας - Επίπεδος Γεωμετρία, τόμος  Β' (Αθήνα 1975, σελ. 200)
  21. Σταυριανίδης Γ.Σ.  - Γεωμετρία (7η εκδ. Θεσσαλονίκη, φροντιστήρια Σταυριανίδη, σελ. 416)  
  22. Σφουντούρης Κ. - Γεωμετρικοί Κατασκευαί, κατασκευή τετραπλεύρων - κύκλων (Αθήνα 1971, σελ.69)
  23. Τόγκας Πέτρος - Προβλήματα Γεωμετρικών Τόπων και Κατασκευών, τόμος ΙΙ, Γεωμετρικαί Κατασκευαί (εκδ. Σιδέρη 1938 σελ. 335)
  24. Τσάλλας Ιωάννης  - Επίπεδος Γεωμετρία (Αθήνα 1963, σελ. 317)  
  25. Τσαρούχης Χάρης - Θεωρήματα και Προβλήματα Γεωμετρίας, Επιπεδομετρία, τόμος ΙΙΙ βιβλίο Γ' (ψευδώνυμο του Νίκου Κισκύρα) (Αθήνα 1970 σελ 404)


Παρόμοιες εργασίες

Στα Γερμανικά:

Ευπρόσδεκτα είναι τα όποια σχόλια και τυχόν παρατηρήσεις. 


 Σχήματα:











Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου