σχολικό υλικό για μαθητές Ι σχολικό υλικό για μαθητές ΙΙ προχωρημένο υλικό για ρομαντικούς επιπλέον υλικό για καθηγητές non greek material εξαντλημένα αρχεία σκαναρισμένα προσωπικό υλίκο
Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου ελληνικές συλλογές ασκήσεων πρόσφατα άρθρα
+ εργασίες
σχολικά βιβλία 1940-2016 Απολλώνιο πρόβλημα
Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου αντιστροφή + γεωμ. μετασχηματισμοί διπλωματικές εργασίες τετράδια γνωστών Γεωμετρών ανακατασκευές βιβλίων (ανενεργή)
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου κωνικές τομές γεωμετρικά πρόσφατα βιβλία παλιά βοηθήματα Γεωμετρίας Στήλη της Γεωμετρίας (ανενεργή)
Γεωμετρία Α΄ Λυκείου μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες σύγχρονες βιβλιοπροτάσεις παλιά βοηθήματα Τριγωνομετρίας
Γεωμετρία Β΄ Λυκείου Παραστατική + Προβολική ιδανική βιβλιοθήκη Γεωμετρίας παλιά βοηθήματα Αναλ. Γεωμετρίας
(αρχική σελίδα) η γεωμετρία στις εισαγωγικές εξετάσεις Κιβωτός Εργασιών Γεωμετρίας

Η πρώτη στήλη (με το άσπρο φόντο) βρίσκεται στην σελίδα ''για την αγάπη των μαθηματικών''. Εκεί βρίσκεται και το βιβλίο επισκεπτών. Email επικοινωνίας: parmenides51 παπάκι gmail.com .

η Στήλη της Γεωμετρίας (ανενεργή)


Ενημέρωση 7/9/2016:
 Η παρούσα σελίδα θα παραμένει ανενεργή (σε παύση) όπως ακριβώς είναι, (στην παρούσα μορφή), για να θυμίζει τις πρώτες απόπειρες του δημιουργού της σελίδας να λύνονται ασκήσεις γεωμετρίας στο ίντερνετ. Πλέον δημιουργήθηκε πρόσφατα νέα ομάδα στο facebook (οι Ρομαντικοί της Γεωμετρίας), οπού συγκεντρώνονται ρομαντικοί και λύνουν ασκήσεις Γεωμετρίας.


Ενημέρωση 23/2/2015:
Η παρούσα καρτέλα είναι σε αναμονή μέχρι νεωτέρας.
Παρά τις ευγενείς προθέσεις, δεν είχε την ανάλογη συμμετοχή. Δεν είναι ο,τι πιο λειτουργικό να προτείνει κανείς ασκήσεις μέσω blog. Μόνο μέσω forum ή μέσω ομάδας στο facebook έχω δεί να δουλεύει με επιτυχία το σκεπτικό πρότασης \ επίλυσης ασκήσεων. Ενδεχομένως να συμβαίνει αυτό επειδή στα blog δεν έχει άλλο εύκολο τρόπο να απαντήσει απευθείας, χωρίς μεσάζοντες ο ενδιαφερόμενος. Η απαίτηση να ανεβάζει ο εκάστοτε ενδιαφερόμενος σε κάποιο google drive την λύση του για να την βλέπουν και οι υπόλοιποι, προυποθέτει μεγάλο βαθμό εξοικίωσης με τους Η/Υ που δεν έχουν οι περισσότεροι. Εν καιρώ θα δούμε πως μπορεί να αναθερμανθεί το ενδιαφέρον και το σκεπτικό. Ευχαριστώ όσους συμμετείχαν με τον τρόπο τους.





Τι είναι αυτό;
Στην στήλη αυτή θα προτείνονται ασκήσεις Ευκλείδειας Γεωμετρίας - ούτε εύκολες ούτε τυχαίες- στο ίντερνετ και θα συγκεντρώνω τις δοθείσες λύσεις που θα μου στέλνουν οι λύτες.


Πως θα γίνει κάτι τέτοιο;
Σε πρώτη φάση θα ανεβάζω, μια άσκηση κάθε δυο βδομάδες περίπου, στο Μαθηματικό Εργαστήρι στο οποίο συμμετέχει μια ομάδα δραστήριων μαθηματικών. Όταν επιλύεται μια άσκηση με όσους τρόπους είναι δυνατόν, θα συγκεντρώνω σε ένα φυλλάδιο τις λύσεις αυτές. Για όσους δεν έχουν facebook και θα ήθελαν να συμμετέχουν στην διαδικασία, μπορούν να μου στέλνουν τις λύσεις τους και να τις αναρτώ στο google drive, έτσι ώστε να είναι προσβάσιμες σε όλους. 


Για ποιον λόγο κατασκεύασα αυτή την στήλη;
Η αφορμή είναι οτι υπάρχουν αξιόλογοι μαθηματικοί, οι οποίοι δεν γνωρίζουν πως να αναρτούν θέματα στο ίντερνετ αν και έχουν πολύ καλές ιδέες και αξιόλογο υλικό. Ο στόχος είναι η άμεση πρόσβαση σε όλους των εκφωνήσεων και των πολλαπλών λύσεων των ασκήσεων με τα σχήματά τους.


Ξεκινήσαμε
Ο καθένας μπορεί να προτείνει την παραπάνω άσκηση όπου θέλει, αλλά ας μας δώσει και μια παραπομπή για να συγκεντρώσουμε μετά τις δοθείσες λύσεις.


Για να είναι συγκεντρωμένα, ολα τα σχετικά αρχεία συγκεντρώνονται εδώ.



Άσκηση 001 (08/10/2014) 
https://drive.google.com/file/d/0B9uh0VymSVrpZ0xBZS1OYmVZQm8/view?usp=sharing
Exercise 001 (08/10/2014)
An triangle $ABC$ is ginen and given also a point $M$ of it's plane.
Consider $A',B',C'$ the orthogonal projections of point $M$ on $BC,AC,AB$ respectively.
Find the locus of point $M$ such that the area of the triangle $A',B',C'$ is $k^2$ (constant).

(προτάθηκε ήδη στην Αγάπη των Μαθηματικών (fb)  και στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ (fb) στις 22.37 στις 08.10.2014  και στ' Αγγλικά στο Artofproblemsolving εδώ στις 16.10.2014)

Άσκηση 002 (20/11/2014)
https://drive.google.com/file/d/0B9uh0VymSVrpenEzeDhjWDI0UEE/view?usp=sharingExercise 002 (20/11/2014)
Given a plane $(P)$ and three random points $A,B,C$  not lying in the plane, find point $O$ on a plane  $P$  such that the sum $OA+OB+OC$ is minimum.

(Gergonne)

(προτάθηκε ήδη στην Αγάπη των Μαθηματικών (fb)  και στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ (fb) στις 21.02 στις 20.11.2014 )

ενημέρωση 25.11.2014: μια διανυσματική αντιμετώπιση από τον Νίκο Δεργιάδες βρίσκεται στο Forum GeometricorumVolume 1 (2001) 75–79.

Υπενθύμιση:
Όλες οι λύσεις είναι ευπρόσδεκτες, αλλά προτιμάμε τις γεωμετρικές (χωρίς τριγωνομετρία).
We welcome every solution, but we prefer the pure geometric solutions (without trigonometry).


3 σχόλια:

  1. Το σχόλιο μου για την παραπανω ασκηση απευθύνεται κυρίως στούς νέους που καταβαλουν προσπάθειες για να μην παραμείνουν αγεωμέτροι , σε αντίθεση με τα ύποπτα επιτάγματα των καιρών μας.
    Η Ευκλείδεια Γεωμετρία ειναι καθαρά επιστήμη ΕΛΛΗΝΙΚΗ.
    Το πρόβλημα το συναντησα πρώτα στην Γεωμετρία των Ιησουϊτών παράγραφος 764 ,σελίς 345 , τόμος ΙΙ ,Ελληνικη έκδοση 1952, αλυτη με καποια σχολια, πριν πολλα χρόνια.
    Λυνοντάς την, παρατηρείς ότι η απ'ολυτη τιμη της δύναμης του σημείου Μ ως προς τον περιγεγραμμενο κύκλο ειναι σταθερό σε συναρτηση με το Ε τού (ΑΒΓ) ,του R και του κ . Οπότε ο τόπος του Μ ειναι δύο κύκλοι ομόκεντροι του (Ο) ακτινων , R1 , R2 με R1 < R < R2 και ισχύει R1^2 + R2^2 = 2* R^2.
    Επισης το συναντούμε στη "Επιπεδο Γεωμετρία " του Σ.Κανέλλου ,ασκηση 1297 ,σελίς 594 , Εκδοση Β' 1973.
    Ξένη βιβλιογραφία ¨
    1. Μc Clealand ," A treatise on the Geometry of the Circle " ,1891 , page 45
    2. F.G.M. : Exercices de géométrie, comprenant l'esposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues (5th ed. 1912, 1302 pages, French)
    3. Rouché, Eugène & de Comberousse, Charles - Traité de Géométrie, - French (vol. 1: Géométrie plane 1922 , 18 -23 page 461
    4. Roger Johnson , " Advanced Euclidean Geometry " 1931 ,page 139.
    Ακόμη θα πρέπει να σημειώσουμε ο,τι όταν το κ = 0 τότε το σημείο Μ ευρίσκεται πανω στην περιφέρεια (Ο)
    και το τρίγωνο εκφυλίζεται σε ευθεία ( Simson ) .
    Παρόμοιο προβλημα , Ζητειται ο γ. τοπος όταν το τρίγωνο Α'Β'Γ' ειναι ορθογώνιο στο Α' .
    Το θέμα αυτό λύνεται στην γενική περίπτωση με προσανατολισμένες γωνίες στον ¨Ευκλείδη" της ΕΜΕ 1969-1970.
    Επισης ειναι λυμένο στην Γεωμετρία του Δ.Καντζιού τομος Β.



    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ας προσθέσω οτι το παραπάνω σχόλιο αφορά την 1η άσκηση.
      Το ευχαριστώ είναι λίγο για την απάντησή σας, μιας και περιέχει βιβλιογραφία (!).
      Στις ασκήσεις που θα προτείνω θα περιμένω κυρίως γεωμετρικές λύσεις,
      επειδή εδώ την έχουμε σε εκτίμηση.
      Την πρότεινα μια βδομάδα μετά το Μαθηματικό Εργαστήρι (fb)
      στο ξενόγλωσσο φόρουμ με την ελπίδα να τύχει μεγαλύτερης ενασχόλησης.
      Όταν με το καλό προστεθούν κι άλλες ιδέες οπουδήποτε,
      θα προσθέσω και την λύση που έχω (κι ας μην είναι δική μου).
      Στο φυλλάδιο με τις λύσεις θα προσθέσω και τα σχόλια σας.
      Αν θέλετε, μπορείτε να δημοσιεύετε \ σχολιάζετε κι επώνυμα.
      Άλλωστε έχω δώσει την δυνατότητα στις σελίδες μου ο καθένας να σχολιάζει
      - χωρίς έγκριση μου - επώνυμα ή ανώνυμα οποιαδήποτε ανάρτηση.
      Και πάλι ευχαριστώ.

      Διαγραφή
    2. Ανδρέας Πούλος2 Νοεμβρίου 2014 - 11:58 π.μ.

      Τάκη,
      προσπάθησα επί μία ώρα να λύσω το θέμα στην απλούστερη μορφή του (τα εμβαδά των δύο τριγώνων να είναι ίσα), αλλά δεν το κατάφερα. Εργάστηκα χωρίς βοήθεια από βιβλία και το Διαδίκτυο. Είδα τις υποδείξεις του ανώνυμου. Θεωρώ το πρόβλημα αρκετά δύσκολο. Προτείνω να ασχοληθούμε με την ειδική περίπτωση, να την λύσουμε με απλά μέσα, απλούστερα της έννοιας "δύναμη σημείου ως προς κύκλο" και στη συνέχεια να λύσουμε τη γενικότερη μορφή του.

      Διαγραφή